Sudoku difícil del periódico El Tiempo resuelto aplicando la Ley del Absurdo

En una entrevista al Dr.Rodolfo Llinás, investigador del cerebro a nivel mundial recomendaba jugar Sudoku para ejercitar la memoria. Hasta el padre Alfonso Llano Escobar en su columna del Tiempo "Un alto en el camino" ha recomendado este entretenimiento lúdico y apasionante, que personalmente disfruto mucho. Desde Heráclito en su teoría filosófica de los Opuestos, siempre se ha hablado del bien y el mal, la luz y la oscuridad, el calor y el frío, la salud y la enfermedad, etc.  Así es todo, existe la vida y también existe la muerte, existe lo real y también lo ficticio. En cuanto el stress también, al igual que el colesterol, existe el bueno y el malo. El Sudoku nos produce stress del bueno.  

Invito al estimado lector conozca su historia en http://es.wikipedia.org/wiki/Sudoku

Se cree que el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII fué uno de sus precursores, en lo que el denominó sus "cuadrados latinos"    Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_latino

Euler terminó su vida ciego.  Se dice en Wikipedia:  "parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio  desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos" 

Voy a indicar al lector, paso a paso, como procedo a realizar uno de los Sudokus que se publican diariamente en el periódico El tiempo. Escogí el más difícil.

Para efectos de facilitar la explicación de como se efectuó su solución rotulé las filas y las columnas.

En el cuadro correspondiente a la intersección de la Fila 1 con la Columna  6 es evidente que hay un 2 , así mismo en la intersección F2 con C9 debe haber un 5, y en las coordenadas F3,C8 debe existir un 9.

 En F3,C9 debe haber un 6.

Estos números los escribo con esfero,pues estoy completamente seguro de su respectiva ubicación.

Continuemos, con algo más exigente de analizar.

Así mismo, con un poco de paciencia, podemos darnos cuenta que en la casilla de coordenadas F9,C8, el único número posible es el 6. 

Suele suceder que a veces se nos escapan números evidentes. Es el caso del 9 en F8,C3.

Ese 9 nos ayuda a evidenciar analizando la fila F8 que en la casilla F8,C1 debe haber un 2. Todos estos números con esfero, no hay necesidad de borrar después.

Descubrimos luego que en F9 con C7 debe haber un 7.

Cuando llego a una situación donde no veo otra alternativa aplico la Ley del Absurdo, la cual es totálmente válida en la Matemática. Ver: http://es.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

Veamos la siguiente gráfica:

En la columna C2 hay dos posibilidades para el 3: en F1 o en F5.  

Supongo que el 3 está en F5. Si llego a un ABSURDO quiere decir que el 3 correcto debe estar en F1.

Recordemos que los números en NEGRO son los originales; los de color ROJO los escritos con esfero porque estaba completamente seguros de ellos; los de color VERDE deben ser escritos en lápiz porque son tentativos. Si llego a un absurdo hay que borrarlos.

Se invita al lector que por su cuenta ubique los números en VERDE que conducen al absurdo, y que  llevan a escribir con ESFERO el 3 en la casilla F1,C2.

Es decir, todo lo que se hizo, fué para poder llegar al gráfico siguiente:

Parece que poco nos sirvió la Ley del Absurdo. Pero no importa, así es la vida, llena de retos. Hay que seguir adelante.

Volvemos a aplicar la Ley del Absurdo:

En esta ocasión el 6 puede estar en F8 o en F5 de la columna C5. Suponemos que esté en F8, y escribimos con lápiz por si acaso hay que borrar. El lector puede comprobar que el Sudoku se resuelve totalmente, luego esa ubicación del 6 era la correcta.

Sistema Plus Billar a tres bandas

El sistema Plus se refiere a carambolas que se ejecutan a partir de la banda larga (salida), y en donde la bola tacadora se ataca a la banda corta, luego toca la otra banda larga, y regresa a la banda de donde salió antes de hacer la carambola.

Se establece una numeración en la banda larga  de salida y en la banda corta de ataque de diez en diez, por cada diamante, o sea de 5 puntos por medio diamante, tal como se muestra en la gráfica siguiente:

Veamos un primer ejemplo:

Suponiendo que se taca con bola amarilla, vemos que la salida está en el diamante del 20. La bola al regresar a la banda larga debe llegar por el 35 para ejecutar la carambola.  Si restamos  la SALIDA (20) de  la LLEGADA (35 ) tendremos:  35 - 20 = 15;   luego dividimos el 15 por 2 , lo que nos da 7,5. Posteriormente le restamos 5:  7,5 - 5 = 2,5.  A este punto debemos hacer llegar la bola amarilla en la banda corta, o sea este es el punto de ataque, siguiendo una linea secante. La bola pareciera que se está apuntando al 5, en realidad es al 2,5 de la linea azul de puntos, no a la línea continua. El efecto debe ser el 3 ( el máximo a la derecha)

Veamos otro ejemplo:

Un tercer ejemplo:

Lo importante es llevar a la práctica el conocimiento teórico. Logo y Praxis da  sabiduría en cualquier disciplina, y el billar es un deporte ciencia, y al  mirarlo con  esa óptica y bajo ese aspecto lúdico se constituye en un magnífico entretenimiento que nos permite aplicar conceptos de la Matemática y de la Física en una forma muy divertida. En los laboratorios de Física de colegios y Universidades debiesen existir mesas de billar a tres bandas: que mejor forma de aprender geometría, torques, impulso y cantidad de movimiento, conservación de la energía, energía cinética traslacional y rotacional, etc.

Sigamos con los ejemplos de sistema Plus:

El lector podrá haber observado que en los dos últimos ejemplos los triángulos rectángulos formados en la parte de abajo, donde se determina la linea de llegada, no son isósceles como si sucede en los dos primeros ejemplos, sino que por el efecto aplicado, el cateto horizontal es menor al cateto vertical, o sea en este cuarto ejemplo, el cateto horizontal abarca diamante y medio, mientras el vertical lo es de dos diamantes.

Veamos un quinto ejemplo:

Observe en este último ejemplo para la llegada como la bola cierra. El cateto horizontal del triángulo rectángulo formado mide la mitad del cateto vertical.

Veamos un nuevo ejemplo:

Para finalizar veamos una carambola a 4 bandas por este sistema plus:

El autor de este blog desea agradecer públicamente al billarista profesional  Fernando Cruz ("Fercho"), propietario y administrador de Billares La Liga del barrio Galán en Bogotá, quien ha tenido toda la paciencia para compartir todos sus conocimientos con este humilde estudiante de este maravilloso deporte.

Sin embargo, la fórmula que Fernando me enseñó es diferente a la que yo expongo.Tengo entendido que el mismo Roger Conti, el francés que creó los procedimientos matemáticos  para jugar el billar a tres bandas lo logró con base a la teoría de prueba y error que ha sido un procedimiento práctico pero un poco informal o empírico para lograr el conocimiento. El mismo Isaac Newton, el gran físico y matemático,  recurrió un poco al empirismo, pruebas de ensayo y error, para estructurar las leyes de la mecánica, incluyendo la famosa ley de la Gravitación Universal. Un argumento para apoyarme en lo que estoy expresando es que Newton practicó la alquimia durante mucho tiempo de su vida, y la Alquimia nunca ha sido considerada como algo científico, formalmente hablando.

Los nùmeros del 0 al 20 con cuatro cuatros

En un capítulo del libro "El hombre que calculaba" de Malba Tahan , el calculista Beremiz Samir, está de compras en un almacen cuyo nombre es "Los cuatro cuatros"

  Aprovecha la ocasión para  explicarle al dueño del almacén y a Malba Tahan ( el autor del libro, quien es         

  además  personaje en el mismo ) como se pueden formar los   números del 0 al 10 utilizando cuatro    

  cuatros.

Veamos:

     44 - 44   =   0 

   

     44 / 44   =   1

     4/4 + 4/4  = 2

    (4 + 4 + 4)/4   =   3   

    4  +   (4-4)/4   =   4

    (4 * 4  + 4)/4  =   5

   (4 + 4)/4 + 4   =   6

   44/4  -  4  =  7

   4 + 4 + 4 - 4 = 8

   4  +  4  +  4/4  =  9

   ( 44  -  4 ) / 4  = 10

   Veamos si  nosotros podemos seguir:

   4 ! / (raiz cuadrada de 4)  - 4/4 = 11

Explicación:

   4 ! = Cuatro factorial = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

  La raiz cuadrada de 4 es igual a 2

  Al dividir :  4!/2 = 24 /2 = 12

 Si le restamos 4/4 que es 1 nos da : 12 -1 = 11 

Sigamos:

4 ! / 4  +  4 ! / 4  = 12

Explicación:

4 ! / 4 = 24 / 4 = 6    Luego: 6 + 6 = 12.

Sigamos:

4 ! / (raiz cuadrada de 4)  +  4  / 4  = 13

Explicación:

4 ! / raiz cuadrada de 4 = 24 / 2 = 12

Como 4/4 =1  entonces  sumando nos da: 12 +1 = 13

Sigamos:

4 ! / 4  +  4 + 4 = 14

Explicación:

4 ! /  4 = 24 / 4 = 6  Luego: 6 + 4 + 4 = 14


Sigamos:

((4 ! - raiz  cuadrada de  4) /raiz  cuadrada de  4) + 4 = 15 

Explicación:

4 !  - raiz cuadrada de 4 = 24 -2 = 22
Luego: 22/2 =11  Sumando 4 tendremos: 11 + 4 = 15.

Sigamos:

4 * 4  +  4  - 4 = 16

Explicación:

Muy fácil: 4 * 4 = 16   Le sumamos y restamos 4 para que nos de 16

Sigamos:


4 * 4  +  4 / 4 = 17
Nos resultó muy fácil.


Sigamos:
4! - raiz  cuadrada de  4 - raiz  cuadrada de  4  - raiz  cuadrada de  4  = 18


Explicación:

4 !  -  2 - 2 - 2 = 24 - 6 = 18 


Sigamos:
4! -  4 -   4/4 = 19




Explicación:

4 !  -  4  -  4/4  = 24 - 4 -1 = 19

LLegamos al 20:

4! -  4 + 4 - 4   =  20

Nos resultó tambièn muy fácil.

Se invita al lector a que continùe .... hasta que nùmero puede llegar !  

Invito al lector a que veamos algo sobre la funciòn FACTORIAL que se ha estado utilizando:

El matemático francés Christian Kramp fue quien popularizó la notación n!

Si queremos averiguar un número factorial, podemos proceder de la siguiente forma. 

Siendo n un número natural, llamaremos factorial de n y lo notaremos como n! al producto de n por cada uno de los naturales que sean menores a él.

n!=n(n-1)(n-2)…..3 2 1

1!=1

0!=1 (por definición).

Aquí tenemos un ejemplo:

5! (factorial de 5) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 (Multiplicamos)=120

Producto de los primeros 5 números naturales.

Podemos también multiplicar al revés:

5! =  5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

La historia del hombre que calculaba y la herencia de los 35 camellos

Según Wikipedia  "El hombre que calculaba"  es una novela escrita por el  profesor de matemáticas brasileño Julio Cesar de Mello o Souza  bajo el seudónimo oriental de Malba Tahan.

Esta obra puede ser considerada al mismo tiempo como una novela y como un libro de  problemas y curiosidades matemáticas.  El propio autor reconoció que uno de sus objetivos al escribirlo fue el de contribuir  a popularizar  la matemática, presentándola para ello, no ya de forma abstracta, o  en contextos meramente  simbólicos, sino integradas a los acontecimientos y   atravesadas por muchos otros aspectos, como  cuestiones morales y de historia. Una  particularidad en la composición estética de esta obra es que el narrador  toma parte en la  historia que el mismo narra, pero no es el personaje principal.  A lo largo de la narración se muestra  con frecuencia la devoción de los personajes  a la religión musulmana. Sin embargo, las reflexiones  místicas son expuestas  como elemento discursivo dentro de la construcción de los personajes y   del mundo árabe que se recrea en esta ficción. El profesor De Mello era crítico de los métodos de enseñanza brasileños,  especialmente aquellos utilizados en la instrucción matemática.   Solía decir "El profesor de matemáticas es un sádico,  que ama hacer todo   tan complicado como sea posible".    En educación, él estaba muchas  décadas más avanzado que los educadores    de su propio tiempo, por lo que a pesar del paso de  los años, sus propuestas    siguen estando vigentes y siempre son causa de admiración, aunque    parece ser que no se han llevado mucho a la práctica.    De cualquier forma, el señor Julio César  de Mello y Souza recibió muchos    galardones, entre los cuales figura, el prestigioso premio de  la Academia de    Letras del Brasil.  Para que el lector se forme una idea de lo interesantede este libro, transcribimos   textualmente el tercer capítulo donde se presenta la historia  de la herencia de   los 35 camellos y la forma tan  ingeniosa como fue resuelto el problema por   Beremís Zamir, el nombre del "hombre que calculaba"  en presencia de Malba   Tahan que lo acompañaba en una correría por tierras orientales:  CAPÍTULO 3  Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos   entre tres  árabes . Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible,    conformando  plenamente  a los tres querellantes.  La ganancia inesperada    que obtuvimos con la transacción. acía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando   nos ocurrió  una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero  Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio    algebrista. Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada,  tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas: - ¡No puede ser! - ¡Esto es un robo! - ¡No acepto! El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba. - Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia,  esos 35  camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre,  debo yo recibir la mitad,  mi hermano Hamed Namir una tercera parte,  y Harim, el más joven, una  novena parte.   No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos,  y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad  de 35  es 17 y medio.   ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco   son exactas las divisiones? Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-.  Me encargaré de hacer  con justicia esa división si me permitís   que junte a los 35 camellos de la herencia,  este hermoso animal  que hasta aquí nos trajo en buena hora. Traté en ese momento de intervenir en la conversación: - ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos   dar término a   nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello? - No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-  . Sé muy   bien lo que estoy haciendo.    Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero   llegar.   Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más    y le entregué  mi hermoso “jamal”[1], que inmediatamente juntó   con los 35 camellos que allí  estaban para ser repartidos entre   los tres herederos.  - Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos-     a hacer una división   exacta de los camellos, que ahora son 36.  Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló: - Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio.  Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes  que reclamar,  pues es bien claro que sales ganando con esta división.   Dirigiéndose al segundo heredero continuó: - Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos    y pico.   Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12.    No podrás protestar, porque también   es evidente que ganas en el cambio.  Y dijo, por fin, al más joven: - A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir    una novena  parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una   novena parte de 36,  es decir, 4, y tu ganancia será también evidente,    por lo cual sólo te resta  agradecerme el resultado.  Luego continuó diciendo: - Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros,  tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da  un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos.   De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos.  Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca  a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil   problema  de la herencia[2].  - ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-.   Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia   y equidad. El astuto Beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de   uno de los  más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome   por la rienda   el animal que me pertenecía:  - Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello.  Tengo ahora yo, uno solamente para mí.  Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad. Notas: [1] Jamal – una de las muchas denominaciones que los árabes dan a los      camellos. [2] Este curioso resultado proviene de ser la suma 1/2  +  1/3 + 1/9 = 17/18 menor que la unidad.  De modo que el reparto de los 35 camellos entre los tres herederos no se habría hecho por completo; hubiera sobrado 1/18 de 35 camellos. Habiendo aumentado el dividendo a 36, el sobrante resultó entonces  1/18 de 36, o sea los dos camellos referidos en el reparto hecho por   el “Hombre que calculaba”.

Predicción del resultado de una suma de varias cifras

Vamos a divertirnos  haciendo sumas. La idea es que le perdamos el temor a la matemática y la veamos como algo muy entretenido que desarrolla la lógica y el pensamiento creativo.



Se trata de solicitarle a un amigo que escriba en un tablero tres números de dos dígitos cada uno, y predecir el resultado de la misma,  antes de que Ud. le agregue dos números más. En total son cinco números de dos dígitos cada uno los que se suman.

Supongamos que nuestro amigo escribe en un tablero los siguientes números:

10

20

15

...

...

_____

218

Los 2 números que se le agregan (en donde están los puntos) son

89  y  84. 

¡ Su amigo comprobará con asombro que efectivamente al sumar los 5 números el resultado es el que se predijo !

Para que se asombre aún más Usted le puede decir que le puede predecir con los mismos tres números por el señalados otro resultado para la suma,  sólo cambiando uno de dos  los números que se le agregan:

Veamos:   

10

20

15

... 

...

  __

  213

El resultado que se predice para  la suma  es ahora de  213  y se agregan 89 y 79.

Existe aún otra posibilidad:                                10

20

15

         ...  (79)

          ...  (84)

  __

  208 

¿Cómo se hace ?

Veamos este último caso que desde luego se aplica a los dos primeros.

20 + 79 = 99

15 + 84 = 99

Suma = 10 + 99 + 99 = 10 +   198 = 208 = 200 + (10 - 2) 

Si seleccionamos el 10 para predecir el resultado de la suma, escribimos el 2 de primero ( 2 centenas); al 10 le restamos 2 para saber  los 2 dígitos que se escriben a continuación.

Se puede generalizar:

Sea  X cualquier número escogido para efectuar la suma de los tres escritos por el amigo.

Suma = X + 2 * 99 = X +  198 = X + 200 -2 = 200 + ( X -2 )

Si se quieren complicar las cosas ya sabemos como proceder:

Supongamos  que se le pide al amigo que escriba ahora 4 números de 3 cifras cada uno. Antes de agregarle 3  números más, Usted es capaz de predecir el resultado de la suma.

Como quedan ahora 7 números en total para sumar, tendremos:

Suma = X + 3 * 999 = X +  2997 = X + 3000 - 3 = 3000 + ( X -3 )

Veamos con un ejemplo:

657 + 834 + 432 + 221 + ... + ... + ... = 3218

Suma = (657 + 342) + (834 + 165) + (432 + 567) + 221 = 999 + 999 + 999 + 221 = 2997 + 221 =

3000 + ( 221 - 3 ) = 3000 + 218 = 3218

Como sabemos el procedimiento algebraico a seguir, podemos lograr predecir el resultado de la suma sin importar la cantidad de números y las cifras o dígitos de cada número.

En esta vida todo es conocimiento y práctica.

  Y entre más lúdico mucho mejor. 

¿ Sería que Albert Einstein se divertía también haciendo sumas ?  Tengo mi personal convicción: que la física,  la matemática y la ciencia en general  para el era de lo mas divertido, por eso se convirtió en su pasión y en la razón de su vida. 

Reflexionemos sobre algunas de sus frases:

"El juego es la mejor forma de aprender   e   investigar"

"Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber"

"Todos somos muy ignorantes.Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas"

"Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo"

"Comienza a manifestarse la madurez cuando sentimos que nuestra preocupación es mayor por los demás que por nosotros mismos"

"Vivimos en el mundo cuando amamos. Sólo una vida vivida para los demás merece la pena ser vivida"

" Dios nos hizo para que fuéramos felices, pero nos esforzamos al infinito por no lograrlo"

"Hay dos cosas que tienden al infinito : el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro"

El número que aparece en un papel por arte de magia

EL NUMERO QUE APARECE EN EL PAPEL MÁGICAMENTE

Con este truco van a creer que sabemos magia

1.      Escriba un número del 0 al 49 en una hoja de papel y guárdelo. Supongamos que fue el 45.

2.      Dígale a un amigo que piense en un número del 50 al 100 y que lo escriba en otra hoja de papel sin que Ud. lo vea. Supongamos que fue el 82

3.      Reste secretamente su número del 99. Nos daría 99 – 45 = 54

4.      Pídale a su amigo que sume este número 54 al número que el pensó, o sea el 82.

Nos daría: 54 + 82 = 136

5.      Luego su amigo debe restar 100 al resultado y sumar 1. Nos daría: 136 – 100 + 1 = 37

6.      Para terminar, su amigo debe restar este número, el 37 del  número que el pensó, o sea del 82.   Nos dará:  82 – 37 = 45.  El número que está guardado en la hoja de papel.

En realidad lo único que sabemos es un poquito de matemática y con ello nos aprovechamos de la ignorancia de la gente para impresionarlos:

¿Cómo se hace ?

Veamos lo que se hizo, paso a paso:

1.     Supongamos que el número guardado en el papel (cualquiera del 0 al 49) es:  X

2.     El número que pensó mi amigo (cualquiera del 50 al 100) es: Y

3.     99 -  X

4.     99 -  X + Y

5.     99 – X + Y – 100 + 1= - X + Y

6.     Y – ( - X + Y ) = Y + X – Y = X

Concluimos, que  el resultado siempre es X.

El caso del restaurante y los mil pesos que no cuadran

Tres amigos se reúnen en un restaurante  y al terminar de cenar el mesero les pasa la cuenta por $ 30.000. Cada uno colabora con $ 10.000 para pagarla.  Al cabo de unos minutos el mesero trae tres billetes de $1.000 y uno de $2.000, y  se los devuelve diciéndoles que en realidad la cuenta sólo era por $ 25.000.


Cada uno de los amigos toma para sí un billete de $1.000,  y le entregan el de  $2.000 al mesero como propina, agradeciéndole su honestidad por reconocer que se había equivocado en la cuenta.

Luego al reflexionar y hacer cuentas uno de ellos les dice a los demás .¿ Si cada uno habíamos colaborado con $ 10.000, y luego a cada uno nos regresaron $1.000,   entonces   cada uno al final  colaboró con
 $ 9.000, luego si multiplicamos 9.000 por 3 nos da $27.000. Si sumamos a los $ 27.000 los $ 2.000, que le dimos al mesero,nos da $ 29.000, y no los $30.000. Porqué falta  $1.000 ?

Solución:
No hay ningún billete de $ 1.000 desaparecido. Simplemente una mala interpretación de la situación.  Si inicialmente cada comensal aportó $10.000 para pagar la cuenta de $ 30.000, y luego cada uno se quedó con $ 1.000,   30.000 - 3.000 = 27.000, y  si le restamos los $2.000 que le dieron al mesero,pues quedan los $25.000 que fue a lo que se rebajó la cuenta.

Concluimos que la matemática, además de exacta  es muy hermosa si la comprendemos y asimilamos.

Recuerdo una frase de mi amigo y exalumno Arles Prieto, Ingeniero Electrónico  investigador: "La  mayoría de las veces el problema no es de la flecha sino del indio que la dispara"

Una mala interpretación nos lleva a tergiversar y a sacar conclusiones erróneas de algo sencillo, y esto no solo es respecto a la matemática sino de  la vida en general.